Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an(n∈N*)．

(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝an＋2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析， ；（2）

【解析】分析：（1）根据Sn＋n＝2an仿写可得Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2)，两式相减变形后可得an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2)，从而可得等比数列{an＋1}，进而可得数列{an}的通项公式．（2）由（1）可得bn＝an＋2n＋1=2n＋2n，然后利用分组求和法可得Tn．

详解：(1)∵Sn＋n＝2an，

∴Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2)．

∴Sn－Sn－1=an＝2an－1＋1，

∴an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2)，

又n＝1时，S1＋1＝a1＋1=2a1，

∴a1＝1．

∴a1＋1＝2≠0，

∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．

∴，

∴an＝2n－1．

(2)由（1）得bn＝an＋2n＋1=2n＋2n．

∴Tn＝

．