Question

10．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，面积S_△ABC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$a²．
（1）求$\frac{c}{a}$的值；
（2）若b=2，求边a，c的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积及sinB的值代入求出原式的值即可；
（2）由sinB的值求出cosB的值，利用余弦定理列出关系式，把c=2a，b=2及cosB的值代入求出a的值，进而求出c的值．

解答 解：（1）∵S_△ABC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$a²=$\frac{1}{2}$acsinB，且sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{15}}{4}$a²=$\frac{\sqrt{15}}{4}$ac，
则$\frac{c}{a}$=2；
（2）∵△ABC是锐角三角形，∴0＜B＜$\frac{π}{2}$，
又sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，∴cosB=$\frac{1}{4}$，
又c=2a，b=2，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即4=a²+4a²-a²=4a²，
解得：a=1，c=2a=2．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．