【答案】
分析:(1)令x=y=0求出f(0),再令x=-y即可判断出奇偶性.
(2)利用函数单调性的定义,设任意x
1,x
2∈R且x
1<x
2,结合已知不等式比较f(x
1)和f(x
2)的大小,即可判断出单调性.
由单调性可求出f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3),已知不等式可转化为f(-3)≤6,再由已知建立f(-1)和f(-3)的联系即可.
(3)

,∴f(ax
2)-f(a
2x)>n[f(x)-f(a)],由已知得:f[n(x-a)]=nf(x-a)∴f(ax
2-a
2x)>f[n(x-a)],由(2)中的单调性转化为ax
2-a
2x<n(x-a).即(x-a)(ax-n)<0,按照二次不等式两根的大小进行分类讨论解不等式即可.
解答:解:(1)由已知对于任意x∈R,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)恒成立
令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0
令x=-y,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
∴对于任意x,都有f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数.
(2)设任意x
1,x
2∈R且x
1<x
2,则x
2-x
1>0,由已知f(x
2-x
1)<0(1)
又f(x
2-x
1)=f(x
2)+f(-x
1)=f(x
2)-f(x
1)(2)
由(1)(2)得f(x
1)>f(x
2),
根据函数单调性的定义知f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
∴f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3).
要使f(x)≤6恒成立,当且仅当f(-3)≤6,
又∵f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-[f(2)+f(1)]
=-[f(1)+f(1)+f(1)]=-3f(1),∴f(1)≥-2.
又x>1,f(x)<0,∴f(1)∈[-2,0)

,
∴f(ax
2)-f(a
2x)>n[f(x)-f(a)]
∴f(ax
2-a
2x)>nf(x-a),
由已知得:f[n(x-a)]=nf(x-a)
∴f(ax
2-a
2x)>f[n(x-a)],
∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数
∴ax
2-a
2x<n(x-a).即(x-a)(ax-n)<0,
∵a<0,∴

,
讨论:①当

,即

,解集为:

或x<a}

②当a=

即

时,原不等式解集③当

<a<0时,
即-

<a<0时,原不等式的解集为

.
点评:本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断和应用:解不等式,及分类讨论思想,综合性强,难度较大.