Question

给出以下五个命题：
①y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的图象中相邻两个对称中心的距离为π；
②y=

x+3

x-1

的图象关于点（-1，1）对称；
③关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实根，则a=-1
④命题P：对任意x∈R，都有sinx≤1；则￢p：存在x∈R，使得sinx＞1；
⑤函数y=3^x+3^-x（x＜0）的最小值为2．其中真命题的序号是

③④

．

Answer 1

分析：将函数利用诱导公式和二倍角正弦的公式化简整理，得y=

1

2

cos2x，所以它的周期为π，由此可知①不正确；对于②，函数化简为y=

4

x-1

+1，故它的图象关于点（1，1）对称，故②不正确；利用一元二次方程根的判断式，对方程进行讨论，可得③正确；根据含有量词命题的否定法则，可得④正确；根据基本不等式的等号成立的条件，可得⑤不正确．

解答：解：①y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）=

1

2

sin(2x+

π

2

)=

1

2

cos2x，
∴y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的图象中相邻两个对称中心的距离为

π

2

，故①不正确；
②y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，它的图象由y=

4

x

先右移一个单位，再上移一个单位而得，
因为y=

4

x

的图象关于原点对称，所以y=

x+3

x-1

的图象关于点（1，1）对称，故②不正确；
③∵关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实根，
∴当a=0时，-1=0矛盾，
当a≠0时，根的判别式△=4a²+4a=0，解得a=-1（舍零），故③正确；
④根据含有量词的命题的否定，得
命题P：“对任意x∈R，都有sinx≤1．”的否定￢p：“存在x∈R，使得sinx＞1．”，故④正确；
⑤根据基本不等式，y=3^x+3^-x≥2

3x•3-x

=2，
当且仅当x=0时，函数的最小值是2，而条件中x为负数，故⑤不成立．
故答案为：③④．

点评：本题考查真假命题的判断，解题时要认真审题，注意三角函数、函数的对称中心、一元二次方程根的判别式、基本不等式等知识点的灵活运用，是基础题．