Question

11．已知函数f（x）=e^x[$\frac{1}{3}$x³-2x²+（a+4）x-2a-4]，其中a∈R，e为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值；
（2）关于x的不等式f（x）＜-$\frac{4}{3}$e^x在（-∞，2）上恒成立，求a的取值范围；
（3）讨论函数f（x）极值点的个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得a的值；
（2）由题意可得$\frac{1}{3}$x³-2x²+4x-$\frac{8}{3}$＜a（x-2），令x-2=t（t＜0），运用参数分离和构造g（t），求得单调性，可得a的范围；
（3）求出函数的导数，令h（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a，由h（x）=0，即为a（x-1）=x²-$\frac{1}{3}$x³，运用参数分离，求得令m=x-1，可得h（m）=$\frac{（m+1）^{2}-\frac{1}{3}（m+1）^{3}}{m}$，求得h（m）的单调区间，可得a的范围，即有f（x）的极值点的个数．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x[$\frac{1}{3}$x³-2x²+（a+4）x-2a-4]的导数为
f′（x）=e^x•（$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a），
图象在x=0处的切线斜率为-a，
切线与直线x+y=0垂直，可得-a=1，
解得a=-1；
（2）关于x的不等式f（x）＜-$\frac{4}{3}$e^x在（-∞，2）上恒成立，
即为$\frac{1}{3}$x³-2x²+（a+4）x-2a-$\frac{8}{3}$＜0在x＜2恒成立．
即有$\frac{1}{3}$x³-2x²+4x-$\frac{8}{3}$＜a（2-x），
令x-2=t（t＜0），可得-a＜$\frac{\frac{1}{3}（t+2）^{3}-2（t+2）^{2}+4（t+2）-\frac{8}{3}}{t}$，
令g（t）=$\frac{\frac{1}{3}（t+2）^{3}-2（t+2）^{2}+4（t+2）-\frac{8}{3}}{t}$，t＜0，
g′（t）=$\frac{2[（t+2）^{2}（t+1）-3（{t}^{2}-4）-8]}{3{t}^{2}}$=$\frac{2t}{3}$＜0，
即g（t）在t＜0递减，可得g（t）＞0，
可得-a≤0，即a的取值范围是[0，+∞）；
（3）由f（x）的导数为f′（x）=e^x•（$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a），
令h（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a，由h（x）=0，
即为a（x-1）=x²-$\frac{1}{3}$x³，
若x=1时，方程不成立；
若x≠1时，a=$\frac{{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}}{x-1}$，
令m=x-1，可得h（m）=$\frac{（m+1）^{2}-\frac{1}{3}（m+1）^{3}}{m}$
=$\frac{（2-m）（m+1）^{2}}{3m}$=$\frac{2-{m}^{3}+3m}{3m}$，
h′（m）=$\frac{-2-2{m}^{3}}{3{m}^{2}}$，
当m＞0即x＞1时，h（m）递减，m＜-1时，h（m）递增，
-1＜m＜0时，h（m）递减．
则当a＞0时，a=h（m）有一个解，f（x）有一个极值点；
当a＜0时，a=h（m）有三个解，f（x）有三个极值点．
综上可得，a=0时，f（x）有一个极值点；
a＞0时，f（x）有一个极值点；
a＜0时，f（x）有三个极值点．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义和两直线垂直的条件，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查函数的极值点的个数，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．