Question

已知f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=ax+2lnx，（a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在负实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．
（3）对x∈D如果函数F（x）的图象在函数G（x）的图象的下方，则称函数F（x）在D上被函数G（x）覆盖．求证：若a=1时，函数f（x）在区间x∈（1，+∞）上被函数g（x）=x³覆盖．

Answer 1

分析：（1）已知x∈（0，+∞）时，f（x）=ax+2lnx，可以令x＜0，得-x＞0，代入f（x）即可求解；
（2）假设存在，已知当x∈（0，+∞）时，f（x）=ax+2lnx，对f（x）进行求导，利用导数求出x∈[-e，0）的最小值让其等于4，求出a值，从而进行判断；
（3）由题意要证函数f（x）在区间x∈（1，+∞）上被函数g（x）=x³覆盖等价于需证x³＞x+2lnx对x∈（1，+∞）恒成立，然后令h（x）=x³-x-2lnx（x＞1），求出其导数会发现h（x）为单调增函数，可知f（x）在（1，+∞）上的最小值为h（1），从而求证；

解答：解：（1）当x∈（-∞，0），则-x＞0，由已知得，
f（-x）=-ax+2ln（-x）=-f（x），
∴f（x）=ax-2ln（-x），
∴f(x)

ax+2lnx        (x＞0) ax-2ln(-x)     (x＜0)

；
（2）假设存在a＜0，满足题意，∵f（x）=ax-2ln（-x），x∈[-∞，0）
∴f′（x）=a+

2

x

=

a(x+ 2 a )

x

，x∈[-∞，0），
令f′（x）=0，x=-

2

a

，
当-

2

a

＞-e，即a＜

2

e

时，f（x）在（-e，-

2

a

）是减函数，在（-

2

a

，0）为增函数，
∴f（x）_min=f（-

2

a

）=4，解得a=-2e，
当-

2

a

≤-e，即0＞a≥

2

a

时，f（x）在（-e，0）上增函数，
∴f（x）_min=f（-e）=4，解得a=-

6

e

＜-

2

e

矛盾；
综上所诉，存在a=-2e满足题意．
（3）证明：由题意知，只需证x³＞x+2lnx对x∈（1，+∞）恒成立，
令h（x）=x³-x-2lnx（x＞1），
∴h′（x）=3x²-1-

2

x

=

(x-1)(3x2+3x+2)

x

，
∵x＞1，∴x-1＞0，3x²+3x+2＞0，
∴h′（x）＞0，对x∈（1，+∞）恒成立，
∴x＞1时，h（x）＞h（1）=0
∴h（x）＞0?x³＞x+2lnx对x∈（1，+∞）恒成立，即证；

点评：第一问利用函数的奇偶性进行求解，比较常见，第三问是一道证明题，定义了一个新定义覆盖的概念，将这个问题转化为函数的恒成立的问题，就会比较简单；