Question

（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线在轴上的截距为，交椭圆于A、B两个不同点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求m的取值范围；

（3）求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，证明k₁＋k₂=0即可.

【解析】

试题分析：（1）设椭圆方程为，

,则，∴椭圆方程.

（2）∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m,又 ,

∴l的方程为：,

由,

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

     

∴m的取值范围是

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁＋k₂=0即可

设

 可得

而

,

∴k₁＋k₂=0,故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

考点：本小题主要考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆的性质.

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系的综合问题．考查了学生转化和化归思想的运用，统筹运算的能力．