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(1)求(1+2x-3x2)6的展开式中x5项的系数;

(2)求(x+2y+3z)7的展开式中含x4y2z的项的系数.

思路解析:(1)先将1+2x-3x2分解因式,把三项式化为两个二项式的积,即(1+2x-3x2)6=(1+3x)6(1-x)6.然后分别写出两个二项式展开式的通项,研究乘积项x5的系数,问题就可得到解决.根据不同的结构特征灵活运用二项式定理是本题的关键.(2)要用分步乘法计数原理.

解:(1)原式=(1+3x)6(1-x)6,其中(1+3x)6展开式的通项为Tk+1=C3kxk,(1-x)6展开式的通项为Tr+1=C(-x)r.

原式=(1+3x)6(1-x)6展开式的通项为CC(-1)r3kxk+r.

现要使k+r=5,又∵k∈{0,1,2,3,4,5,6},r∈{0,1,2,3,4,5,6},

x5项系数为C30C(-1)5+C31C(-1)4+C32C(-1)3+C33C(-1)2+C34C(-1)+C35C(-1)0=-168.

(2)因为(x+2y+3z)7可视为7个x+2y+3z相乘,展开式中含x4y2z的项应取4个x,2个2y,1个3z,所以,由分步乘法计数原理知x4y2z的系数为C·C22·C3=1 260.

方法归纳  二项式定理是由两个原理及排列与组合的知识导出的.对于能直接使用定理的情形可转化成二项式定理的形式去求解,也可直接使用两个原理及排列、组合的知识去求解.

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1
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9
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5
4
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3
2
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