Question

设a_n（n=2，3，4，…）是(3-

x

)n的展开式中含x的系数，则

1

a2

+

3

a3

+

9

a4

+…+

32007

a2009

的值等于（　　）

• A．2008
• B．2009
• C．

  4016

  2009

• D．

  4018

  2008

Answer 1

分析：由题意可得 a_n=

C

2 n

•3^n-2，可得

1

a2

+

3

a3

+

9

a4

+…+

32007

a2009

=

1

C 2 2

+

1

C 2 3

+

1

C 2 4

+…+

1

C 2 2009

，再根据组合数的计算公式用裂项法进行求和．

解答：解：由题意可得 a_n=

C

2 n

•3^n-2，∴

1

a2

+

3

a3

+

9

a4

+…+

32007

a2009

=

1

C 2 2

+

1

C 2 3

+

1

C 2 4

+…+

1

C 2 2009

 
=2（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2008×2009

）=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2008

-

1

2009

）
=2（1-

1

2009

）=

4016

2009

，
故选C．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式，用裂项法进行数列求和，属于中档题．