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如图,已知圆锥的轴截面ABC是边长为2的正三角形,O是底面圆心.
(Ⅰ)求圆锥的表面积;
(Ⅱ)经过圆锥的高AO的中点O′作平行于圆锥底面的截面,求截得的圆台的体积.

解:(1)圆锥的表面是由一个侧面和一个底面圆构成
∵圆锥的轴截面ABC是边长为2的正三角形,得底面半径r=1,母线l=2
∴S底面=πr2=π×12=π,S侧面=πrl=π×1×2=2π
因此,该圆锥的表面积等于S=S底面+S侧面=3π;
(2)由(1)得,大圆锥的高h==
∴大圆锥的体积V大圆锥=×S×h=
∵圆O'是经过高AO的中点,且平行于圆O所在平面的截面
∴截得小圆锥与大圆锥的相似比为1:2,可得V小圆锥=V大圆锥=
因此,所求圆台的体积为V=V大圆锥-V小圆锥=
分析:(1)根据圆锥轴截面的形状,得它底面半径r=1,母线l=2,结合圆锥的表面积公式,不难得到该圆锥的表面积;
(2)根据圆O'是经过高AO的中点且平行于圆O所在平面的截面,得截得小圆锥与大圆锥相似且相似比为1:2,再结合圆锥体积公式和两个相似体的体积关系,可得小圆锥的体积,从而得到所求圆台的体积.
点评:本题给出轴截面是等边三角形的圆锥,求表面积并求截得圆台的体积.考查了圆的侧面积公式、体积公式和圆台体积求法等知识,属于基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知圆锥的轴截面ABC是边长为2的正三角形,O是底面圆心.
(Ⅰ)求圆锥的表面积;
(Ⅱ)经过圆锥的高AO的中点O′作平行于圆锥底面的截面,求截得的圆台的体积.

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精英家教网如图,已知圆锥的轴截面PAB是边长为4的正三角形.
(Ⅰ)求该圆锥的表面积;
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(本小题满分12分)

如图,已知圆锥的轴截面ABC是边长为的正三角形,O是底面圆心.

(1)求圆锥的表面积;

(2)经过圆锥的高的中点作平行于圆锥底面的截面,求截得的圆台的体积.

 

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科目:高中数学 来源:2013届浙江省嘉兴市八校高二上期中联考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题

(本题6分)如图,已知圆锥的轴截面ABC是边长为2的正三角形,O是底面圆心.

(Ⅰ)求圆锥的表面积;

(Ⅱ)经过圆锥的高AO的中点O¢作平行于圆锥底面的截面,求截得的圆台的体积.

 

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科目:高中数学 来源:2013届浙江省高二期中理科数学试卷 题型:解答题

如图,已知圆锥的轴截面ABC是边长为2的正三角形,O是底面圆心.

(Ⅰ)求圆锥的表面积;

(Ⅱ)经过圆锥的高AO的中点O¢作平行于圆锥底面的截面,

求截得的圆台的体积.

 

 

 

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