Question

3．已知数列{a_n}的首项为2，且数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}$，数列{a_n}前n项和为S_n，则S₂₀₁₆为（　　）

• A． 504
• B． 588
• C． -588
• D． -504

Answer 1

分析 由条件可得数列的前几项，可得数列{a_n}为周期为4的数列，即有a_n+4=a_n，即可得到S₂₀₁₆．

解答 解：由题意可得a₁=2，a₂=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}+1}$=$\frac{1}{3}$，
a₃=$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{2}+1}$=-$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{{a}_{3}-1}{{a}_{3}+1}$=-3，
a₅=$\frac{{a}_{4}-1}{{a}_{4}+1}$=2，…，
可得数列{a_n}为周期为4的数列，即有a_n+4=a_n，
则S₂₀₁₆=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₆=（2+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$-3）+…+（2+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$-3）
=-$\frac{7}{6}$×504=-588．
故选：C．

点评 本题考查数列的求和，注意运用数列的周期，考查运算能力，属于中档题．