Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣alnx﹣1， ，其中a为实数． （Ⅰ）求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）设a＜0，若对任意的x1、x2∈[3，4]（x1≠x2）， 恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，令g'（x）=0，得x=1，列表如下：

x	（﹣∞，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	﹣
g（x）	↗	极大值	↘

∴当x=1时，g（x）取得极大值g（1）=1，无极小值；…（4分）
（Ⅱ）当m=1时，a＜0时，f（x）=x﹣alnx﹣1，x∈（0，+∞），
∵ 在[3，4]恒成立，∴f（x）在[3，4]上为增函数，
设 ，∵ 在[3，4]上恒成立，
∴h（x）在[3，4]上为增函数，
不妨设x2＞x1 ， 则 等价于：f（x2）﹣f（x1）＜h（x2）﹣h（x1），即f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1），
设 ，则u（x）在[3，4]上为减函数，
∴ 在[3，4]上恒成立，
∴ 恒成立，∴ ，x∈[3，4]，
设 ，∵ ，
∴ ，∴v'（x）＞0，v（x）为减函数，
∴v（x）在[3，4]上的最大值 ，∴ ，
∴a的最小值为
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）设 ，根据函数的单调性得到h（x）在[3，4]上为增函数，问题等价于f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1）设 ， 根据函数的单调性求出a的最小值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．