Question

（2013•辽宁一模）已知函数f（x）=ax²-x（a∈R，a≠0），g（x）=lnx
（1）判断函数f（x）-g（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点M，N，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意求出y=f（x）-g（x）的解析式，进而求出定义域，再求出导函数并整理，对a进行分类：a＞0时和a＜0时，分别求出y′＞0和y′＜0对应的x的范围，即求出函数的单调区间；
（2）先由f（x）=g（x）分离a，即求出a的表达式，再构造函数k（x）=

lnx+x

x2

，再求导判断单调性以及最值和特殊函数值的符号，可得到函数图象的大致形状，再求出满足条件的a的范围．

解答：解：（1）由题意设y=f（x）-g（x）=ax²-x-lnx，（a≠0，x＞0），
∴y′=2ax-1-

1

x

=

2ax2-x-1

x

，
①当a＞0时，令y′＞0得，2ax²-x-1＞0，解得x＞

1+ 1+8a

4a

，
令y′＜0得，2ax²-x-1＜0，解得0＜x＜

1+ 1+8a

4a

，
②当a＜0时，令h（x）=2ax²-x-1，则对称轴x=

1

4a

＜0，且h（0）=-1，
∴x＞0时，有y′＜0，
综上所述：a＞0时，在（0，

1+ 1+8a

4a

）上递减，在（

1+ 1+8a

4a

，+∞）上递增，
a＜0时，在（0，+∞）上递减．
（2）由f（x）=g（x）得，ax²-x=lnx（a≠0，x＞0），即a=

lnx+x

x2

令k（x）=

lnx+x

x2

，则k′（x）=

( 1 x +1)x2-2x(lnx+x)

x4

=

1-x-2lnx

x3

，
当0＜x＜1时，1-x-2lnx＞0，即k′（x）＞0，
∴k（x）在（0，1）上单调递增，且k（e^-1）=

-1+e-1

e-2

＜0，
当x＞1时，1-x-2lnx＜0，即k′（x）＜0，
∴k（x）在（1，+∞）上单调递减，且

lnx+x

x2

＞0，
∴k（x）在x=1处取得最大值k（1）=1，
故要是y=a和y=

lnx+x

x2

的图象有两个交点，只需0＜a＜1．

点评：本题考查了导数与函数的单调性关系，以及两个函数图象的交点问题转化为求单调性和最值等综合应用，考查了分类讨论思想、转化思想和分离常数方法．