Question

7．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，-6）；
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，或$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，a＞b＞0，由已知得a=2b，且椭圆过点（2，-6），由此能求出椭圆的标准的方程．
（2）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0，由已知条件推导出c=b=3，由此能求出椭圆的标准方程．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，或$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，a＞b＞0，
∵长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，①
∵椭圆过点（2，-6），∴$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{36}{{b}^{2}}$=1，或$\frac{36}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}$=1，②
由①②，得a²=148，b²=37或a²=52，b²=13，故所求的方程为$\frac{{x}^{2}}{148}+\frac{{y}^{2}}{37}=1$或$\frac{{y}^{2}}{52}+\frac{{x}^{2}}{13}=1$．
（2）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0，
∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，
∴△A₁FA₂为一等腰直角三角形，OF为斜边A₁A₂的中线（高），且OF=c，A₁A₂=2b，
∴c=b=3．∴a²=b²+c²=18．
故所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．