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已知O为坐标原点,点A、B分别在x轴,y轴上运动,且|AB|=8,动点P满足
AP
=
3
5
PB
,设点P的轨迹为曲线C,定点为M(4,0),直线PM交曲线C于另外一点Q.
(1)求曲线C的方程;
(2)求△OPQ面积的最大值.
分析:(1)先点的坐标,得到向量的坐标,代入
AP
=
3
5
PB
,求得坐标间的关系,再由|AB|=8求得曲线的轨迹方程.
(2)由(1)可知,M(4,0)为椭圆+=1的右焦点,设直线PM方程为x=my+4,再与椭圆方程联立,由韦达定理求得|yP-yQ|,然后由S△OPQ=
1
2
|OM||yP-yQ|建立函数模型求其最值.
解答:解:(1)设A(a,0),B(0,b),P(x,y),
AP
=(x-a,y),
PB
=(-x,b-y),
AP
=
3
5
PB
,∴
x-a=-
3
5
x
y=
3
5
(b-y)
∴a=
8
5
x,b=
8
3
y.
又|AB|=
a2+b2
=8,∴
x2
25
+
y2
9
=1.
∴曲线C的方程为
x2
25
+
y2
9
=1.
(2)由(1)可知,M(4,0)为椭圆的右焦点,
设直线PM方程为x=my+4,
x2
25
 +
y2
9
=1
x=my+4
消去x得
(9m2+25)y2+72my-81=0,
∴|yP-yQ|=
(72m)2+4×(9m2+25) × 81
9m2+25
=
90
m2+1
9m2+25

∴S△OPQ=
1
2
|OM||yP-yQ|=2×
90
m2+1
9m2+25
=
20
m2+1
m2+
25
9
=
20
m2+1
m2+1+
16
9
=
20
m2+1
 +
16
9
m2+1
20
8
3
=
15
2

m2+1
=
16
9
m2+1

即m=±
7
3
时,△OPQ的面积取得最大值为
15
2

此时直线方程为3x±
7
y-12=0.
点评:本题主要考查轨迹方程的求法和直线与圆锥曲线的位置关系,以及所构造平面图形面积的最大,最小等问题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知O为坐标原点,点A(x,y)与点B关于x轴对称,
j
=(0,1)
,则满足不等式
OA
2
+
j
AB
≤0
的点A的集合用阴影表示(  )
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C、精英家教网
D、精英家教网

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知O为坐标原点,点A(2,1),点P在区域
y≤x
x+y≥2
y>3x-6
内运动,则
OA
OP
的取值范围为
 

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已知O为坐标原点,点A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα),且0<α<π.
(Ⅰ)若
AC
BC
=
3
5
,求tanα的值;
(Ⅱ)若|
OA
+
OC
|=
7
,求
OB
OC
的夹角.

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(2012•天河区三模)已知O为坐标原点,点M坐标为(-2,1),在平面区域
x≥0
x+y≤2
y≥0
上取一点N,则使|MN|为最小值时点N的坐标是(  )

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已知O为坐标原点,点P(x,y),其中x,y满足
x+2y-5≤0
x+2y-3≥0
x≥1
y≥0
,则直线OP的斜率的最大值为
2
2

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