Question

在△ABC的AB边在平面α内，点C在平面α外，AC和BC与平面α所成的角分别为30°和45°且平面ABC与平面α成60⁰的锐二面角，则sin∠ACB=（　　）

A．1

B． 2 3 3

C． 3

D．1或 1 3

Answer 1

从C向平面作垂线CD，连接AD，BD，作CE⊥AB，连接DE，
根据三垂线定理，DE⊥AB，设CD=h，∠CBD=45°，BC=

2

h，∠CAD=30°，AC=2CD=2h，
∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=

2 3 h

3

，
根据勾股定理，AE=

2 6

3

h，BE=

6

3

h，AB=AE+BE=

6

h，
∵（

6

h）²=（

2

h）²+（2h）²，即AB²=BC²+AC²，
∴∠C=90°，sinC=1，
另一种是∠B是钝角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=

6 h

3

，
根据余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC×BC×cosC，
（

6

3

h）²=（2h）²+（

2

h）²-2×2h×

2

hcosC，
cosC=

2 2

3

，
sinC=

1-cos2C

=

1

3

，
故角ACB的正弦值是1或

1

3

．
故选D．