Question

（06年北京卷文）（14分）

 如图，ABCD―A₁B₁C₁D₁是正四棱柱.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC₁A₁;

（Ⅱ）]若二面角C₁―BD―C的大小为60^o,求异面直线BC₁与AC所成角的大小.

Answer 1

 解析：解法一：（Ⅰ）∵ABCD―A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，∴CC₁⊥平面ADCD, ∴BD⊥CC₁

∵ABCD是正方形   ∴BD⊥AC   又∵AC，CC₁平面ACC₁A₁,

且AC∩CC₁=C,   ∴BD⊥平面ACC₁A₁.

 (Ⅱ) 设BD与AC相交于O,连接C₁O.  ∵CC₁⊥平面ADCD, ∴BD⊥AC,

  ∴BD⊥C₁O,  ∴∠C₁OC∠是二面角C₁―BD―C的平面角，

∴∠C₁OC=60^o.  连接A1B.   ∵A₁C₁//AC,    ∴∠A₁C₁B是BC₁

与AC所成的角.

设BC=a,则

∴异面直线BC₁与AC所成角的大小为

解法二：

 （Ⅰ）建立空间直角坐标系D―xyz，如图.

 

设AD=a,DD₁=b,则有D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C₁(0,a,b),

(Ⅱ)设BD与AC相交于O,连接C₁O,则点O坐标为

∴异面直线BC₁与AC所成角的大小为