Question

（2008•深圳一模）（不等式选讲选做题）已知点P是边长为2

3

的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z所满足的关系式为

x+y+z=3

，x²+y²+z²的最小值是

3

．

Answer 1

分析：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接，进而分别表示出三角形三部分的面积，相加应等于总的面积建立等式求得x+y+z的值；再利用：（x²+y²+z²）×（1+1+1 ）≥（x+y+z）²这个不等关系进行求最小值即可．

解答：解：设等边三角形的边长为a，高为h
将P与三角形的各顶点连接
根据面积
那么：

1

2

ax+

1

2

ay+

1

2

az=

1

2

ah
所以x+y+z=h
因为等边三角形的边长为2

3

，所以高为h=3
所以x．y．z所满足的关系是为：x+y+z=3
∵（x²+y²+z²）×（1+1+1 ）≥（x+y+z）²=9，
∴x²+y²+z²≥9×

1

3

=3，
故 x²+y²+z²的最小值为3，
故答案为：x+y+z=3；3．

点评：本题主要考查了三角形中的几何计算、平均值不等式在函数极值中的应用，考查了学生综合分析问题的能力和转化和化归的思想．