Question

已知直线x+2y+m=0（m∈R）与抛物线C：y²=x相交于不同的两点A，B．
（1）求实数m的取值范围；
（2）在抛物线C上是否存在一点P，对（1）中任意m的值，都有直线PA与PB的倾斜角互补？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）联立直线x+2y+m=0（m∈R）和抛物线C：y²=x，并整理得y²+2y+m=0，由判别式△=4-4m＞0，知实数m的取值范围{m|m＜1}．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀） 由题意知kpA=

y1-y0

x1-x0

，kPB=

y2-y0

x2-x0

，

y1-y0

x1-x0

+

y2-y0

x2-x0

=0，由此可知存在P（1，1），使得对（1）中任意的m的值，都有直线PA与PB的斜率互为相反数．

解答：解：（1）联立直线x+2y+m=0（m∈R）和抛物线C：y²=x，并整理得y²+2y+m=0，
∵直线x+2y+m=0（m∈R）与抛物线C：y²=x相交于不同的两点A，B．
∴判别式△=4-4m＞0，∴m＜1，即实数m的取值范围{m|m＜1}．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）
kpA=

y1-y0

x1-x0

，
kPB=

y2-y0

x2-x0

y1-y0

x1-x0

+

y2-y0

x2-x0

=0，
∴y₁²=x₁，y₂²=x₂，y₀²=x₀

1

y1+y0

+

1

y2+y0

=0，∴-2y₀=y₁+y₂
由（1）得：y₀=1
y₀=x₀=1
所以存在P（1，1），使得对（1）中任意的m的值，都有直线PA与PB的斜率互为相反数．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．