Question

如图，是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削   去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（Ⅰ）求出该几何体的体积；
（Ⅱ）求证：EM∥平面ABC；
（Ⅲ）试问在棱DC上是否存在点N，使NM⊥平面BDE？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由图可以看出，几何体可以看作是以点B为顶点的四棱锥，其与底面积易求；
（II）证明线EM与面ABC中一线平行即可利用线面平行的判定定理得出线面平行，由图形易得，可构造平行四边形证明线线平行，取BD中点M，EM，MG，AG，即可；
（III）本题是个存在问题，解法一：可先根据题设中的条件，推断图形中的位置关系并确定点的位置，再进行证明．
解法二：解决本题最好用向量法，建立空间坐标系，依据题设条件直接给出点的坐标，用向量表示出位置关系对应的方程，进行求解，若解出的坐标存在于所要求的位置，则说明存在．

解答：解：（Ⅰ）证明：由题意，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，AE∥DC，AE=2，DC=4，AB⊥AC，且AB=AC=2
∵EA⊥平面ABC，
∴EA⊥AB，又AB⊥AC，∴AB⊥平面ACDE
∴四棱锥B-ACDE的高h=AB=2，梯形ACDE的面积S=6
∴VB-ACDE=

1

3

•S•h=4，
即所求几何体的体积为4（4分）
（Ⅱ）证明：∵M为DB的中点，取BC中点G，连接EM，MG，AG，
∴MG∥DC，且MG=

1

2

DC∴MG₌^∥AE，
∴四边形AGME为平行四边形，
∴EM∥AG，又AG⊆平面ABC∴EM∥平面ABC．（8分）
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知，EM∥AG，
又∵平面BCD⊥底面ABC，AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD
∴EM⊥平面BCD，又∵EM?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD
在平面BCD中，过M作MN⊥DB交DC于点N，
∴MN⊥平面BDE，点N即为所求的点，
∵△DMN∽△DCB∴

DN

DB

=

DM

DC

    即   

DN

2 6

=

6

4

    ∴   DN=3∴DN=

3

4

DC
∴边DC上存在点N，满足DN=

3

4

DC时，有NM⊥平面BDE．（13分）
解法2：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0）
D（-2，0，4），E（0，0，2），M（-1，1，2），

DB

=（2，2，-4），

DE

=（2，0，-2），

DC

=（0，0，-4），

DM

=（1，1，-2）．
假设在DC边上存在点N满足题意

设   DN =λ DC =(0，0，-4λ)，  λ∈[0，1]， 则   NM = DM - DN =(1，1，-2)-(0，0，-4λ)=(1，1，-2+4λ). ∵MN⊥平面BDE，  ∴     NM • DB =0 NM • DE =0 ，   即     2+2+8-16λ=0 2+4-8λ=0 ， 解之得λ= 3 4 ∈[0，1].

∴边DC上存在点N，满足DN=

3

4

DC时，NM⊥平面BDE．（13分）

点评：本题是一个立体几何综合题，涉及到了求几何体的体积，证线面平行，确定线面垂直的条件，涉及到的定理与技巧较多，对答题者的空间感知能力，问题的转化能力要求较高，难度较大．