Question

已知f（x）=|x-1|-|2x+3|．
（1）f（x）≤a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|f（x）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用分区间讨论法去掉绝对值符号，研究函数在每个区间上的单调性，从而确定函数的最大值，即可确定实数a的取值范围
（2）先分离出f（x），再求出

|2m-1|+|1-m|

|m|

的最小值1，然后解不等式≤1即可．

解答：解：（1）当x＜-

3

2

时，f（x）=1-x+2x+3=4+x，f（x）≤f（-

3

2

）=

5

2

当-

3

2

≤x≤1时，f（x）=1-x-（2x+3）=-3x-2，f（1）=-5≤f（x）≤f（-

3

2

）=

5

2

当x＞1时，f（x）=-（1-x）-（2x+3）=-x-4，f（x）＜f（1）=-5
函数f（x）的最大值为

5

2

，要使不等式恒成立，只需a≥

5

2

，即实数a的取值范围为[

5

2

，+∞）
不等式恒成立，即|x-1|-|2x+3|≤

|2m-1|+|1-m|

|m|

恒成立．
因为

|2m-1|+|1-m|

|m|

≥

|2m-1+1-m|

|m|

=1，
所以只需|x-1|-|2x+3|≤1
①当x＜-

3

2

时，原不等式可以化为1-x+2x+3≤1，解得x≤-3
②当-

3

2

≤x≤1时，原不等式可以化为1-x-（2x+3）≤1，解得-1≤x≤1，
③当x＞1时，原不等式可以化为-x-4≤1，解得x＞1
综上所述，x的取值范围是（-∞，-3]∪[-1，+∞）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立问题，考查转化计算、分类讨论的思想方法．