Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AA1=AC=4，AB=2，P，Q分别为棱AA1 ， AC的中点．
（1）在平面ABC内过点A作AM∥平面PQB1交BC于点M，并写出作图步骤，但不要求证明；
（2）若侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1 ， 求直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：取BC中点M，连接AM，则AM∥平面PQB1；

（2）解：作QO⊥平面ABB1A1，与A1A延长线交于O，则AO=1，QO= ，

OB1= = ，∴QB1= ，

∵B1P=2，PQ=2 ，

∴cos∠QPB1= =﹣ ，

∴sin∠QPB1= ，

∴ = = ，

作PN∥C1A1，则直线A1C1与平面PQB1所成角=直线PN与平面PQB1所成角，

∵ =2 ，∴ = =2，

设N到平面PQB1的距离为h，则 ，∴h= ，

∴直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值= = ．

【解析】（1）取BC中点M，连接AM，则AM∥平面PQB1；（2）作PN∥C1A1，则直线A1C1与平面PQB1所成角=直线PN与平面PQB1所成角，求出N到平面PQB1的距离，即可求直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．