Question

【题目】(2015·陕西）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BAD=，AB=BC=1，
AD=2， E是AD的中点，0是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2．
（1）证明：CD⊥平面A1OC
（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）

见解析。

（2）

【解析】在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=， ∴BE⊥AC，
即在图2中，BE⊥OA1 ， BE⊥OC，则BE⊥平面A1OC；∵CD∥BE，∴CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，
由BC=（-，，0），A1C=（0，，-），
CD＝BE＝(-，0，0)
设平面A1BC的法向量为m=（x，y，z），平面A1CD的法向量为n=（x，y，z），
则mBC＝0mA1C＝0得-x+y＝0y-z＝0，令x=（Ⅰ）知BE⊥OA1 ， BE⊥OC，
∴∠A1OC为二面角A1-BE-C的平面角，
∴∠A1OC=π/2， 如图，建立空间坐标系，
∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED
∴B（，0，0），E（-，0，0），A1（0，0，），C（0，，0）， ，则y=1，z=1，即m=（1，1，1），
由nA1C＝0nCD＝0得x＝0y-z＝0，取n=（0，1，1），
则cos＜m，n＞=mn|m||n|==,
即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为．