Question

已知函数f（x）=x•e^x+ax²+bx在x=0和x=1时都取得极值．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）若存在实数x∈[1，2]，使不等式f(x)≤

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x2+(t-1)x成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导f′（x），由f（x）在x=0和x=1时取得极值，得f′（x）=0，f′（1）=0，联立方程解出即可，注意检验；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知不等式f(x)≤

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2

x2+(t-1)x成立可化为e^x-ex-t≤0成立，令g（x）=e^x-ex-t，问题转化为g（x）_最小≤0，利用导数即可求得g（x）在[1，2]上的最小值；

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+xe^x+2ax+b，
因为f（x）在x=0和x=1时取得极值，
所以有

f′(0)=0 f′(1)=0

，即

1+b=0 e+e+2a+b=0

，解得

b=-1 a= 1 2 -e

，经检验符号条件，
故a=

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-e，b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=xex+

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2

x2-ex2-x，
即存在实数x∈[1，2]，使xe^x-ex²-tx≤0成立，即e^x-ex-t≤0，
令g（x）=e^x-ex-t，则g′（x）=e^x-e≥0恒成立，
所以g（x）在[1，2]上单调递增，∴g（x）_最小=g（1）=e-e-t≤0，
∴t∈[0，+∞）

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及函数恒成立问题，本题（Ⅱ）问属于“能成立”问题，往往转化为函数最值问题解决．