Question

已知函数f(x)=2sinxcosx+2

3

cos2 x-

3

+2
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）当x∈(0，

π

2

)时，若函数g（x）=f（x）+m有零点，求m的范围；
（3）若f(x0) =

2

5

，x0∈(

π

4

，

π

2

)，求sin（2x₀）的值．

Answer 1

分析：利用辅助角公式可得f（x）=sin2x+

3

cos2x+2=2sin（2x+

π

3

）+2
（1）令2x+

π

3

=

π

2

+kπ可得对称轴方程为：x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z
（2）由x∈(0，

π

2

)可得2x+

π

3

∈(

π

3

，

4π

3

)，从而可得∴2sin(2x+

π

3

)+2∈(-

3

+2，4]
而函数g（x）=f（x）+m有零点，即f（x）=-m有解，可转化为y=f（x）与y=-m有交点，结合图象可得-m∈(-

3

+2，4]，
m∈[-4，

3

-2)
（3）由已知可得sin(2x0+

π

3

)=-

4

5

，结合x0∈(

π

4

，

π

2

)可求cos(2x0+

π

3

)，而sin2x0=sin[(2x0+

π

3

)-

π

3

]利用两角差的正弦公式可求

解答：解：（1）∵f（x）=sin2x+

3

cos2x+2=2sin（2x+

π

3

）+2（3分）
令2x+

π

3

=

π

2

+kπ可得：x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z，
∴对称轴方程为：x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z，．（4分）
（2）∵x∈(0，

π

2

)   2x+

π

3

∈(

π

3

，

4π

3

)
∴sin(2x+

π

3

)∈(-

3

2

，1]
∴2sin(2x+

π

3

)+2∈(-

3

+2，4]（7分）
∵函数g（x）=f（x）+m有零点，即f（x）=-m有解．（8分）
即-m∈(-

3

+2，4]，m∈[-4，

3

-2)．（9分）
（3）f(x0)=

2

5

即2sin（2x0+

π

3

)+2=

2

5

+2=

2

5

即sin（2x0+

π

3

)=-

4

5

=-

4

5

（10分）
∵x0∈(

π

4

，

π

2

)
∴2x0+

π

3

∈(

5π

6

，

4π

3

)
又∵sin(2x0+

π

3

)=-

4

5

，
∴2x0+

π

3

∈(π，

4π

3

)（11分）
∴cos(2x0+

π

3

)=-

3

5

（12分）
∴sin2x0=sin[(2x0+

π

3

)-

π

3

]（13分）
=sin(2x0+

π

3

)cos

π

3

-cos(2x0+

π

3

)sin

π

3

=(-

4

5

)×

1

2

-(-

3

5

)×

3

2

=

3 3 - 4

10

（15分）

点评：本题主要考查 了辅助角公式asix+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)的应用，正弦函数的对称轴的求解，方程与函数的相互转化，利用拆角求解三角函数值，是一道综合性比较好的试题．