Question

已知函数f（x）=x+

1

x

．
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数；
（3）写出函数f（x）在整个定义域上的单调区间．（直接写出答案，不要求写证明过程）．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断、证明；
（2）设x₁，x₂∈（0，1）且设x₁＜x₂，根据减函数的定义利用作差证明f（x₁）＞f（x₂）即可；
（3）可以根据函数图象直接写出；

解答：解：（1）函数为奇函数，
证明：因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，
且f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
所以f（x）为奇函数；
（2）设x₁，x₂∈（0，1）且设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x1+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴0＜x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数f（x）在（0，1）上是减函数．
（3）函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，0）上是减函数，
在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断证明，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．