Question

对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在x∈D，使得|f（x）-g（x）|＜1，则f（x）和g（x）在D上是“亲密函数”．给出定义域均为D=（0，1）的四组函数如下：
①f（x）=lnx-1，g（x）=

2(x-1)

x+1

   ②f（x）=x³，g（x）=3x-1
③f（x）=e^x-2x，g（x）=-x      ④f（x）=

2

3

x-

5

8

，g（x）=

x

其中，函数f（x）和g（x）在D上是“亲密函数”的是

 

．

Answer 1

分析：分析：根据新定义，构造新函数h（x）=f（x）-g（x），利用导数的方法确定函数的单调性，从而确定函数的值域，利用若对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|＜1，则称f（x）和g（x）在D上是“亲密函数”，即可得到结论

解答：解：①设h（x）=f（x）-g（x）=lnx-1-

2(x-1)

x+1

，
∴h'（x）=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

∵0＜x＜1，∴h'（x）＞0，
即h（x）在（0，1]上单调增，
∵h（1）=-1，∴h（x）＜-1，
∴对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|＞1，
∴函数f（x）和g（x）在D上不存在“亲密函数”；
②设h（x）=f（x）-g（x）=x³-3x+1，
∴h′（x）=3x²-3
∵0＜x＜1，
∴h′（x）＜0，函数单调递减．
∵h（0）=1，h（1）=-1，
∴-1＜h（x）＜1，
即|h（x）|＜1，
即存在x∈D，都有|f（x）-g（x）|＜1．
③设h（x）=f（x）-g（x）=e^x-x，
∴h′（x）=e^x-1
∵0＜x＜1，∴h′（x）＞0
∴h（x）在[0，1]上单调增，
∵h（0）=1，h（1）=e-1＞1
∴不满足对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|＜1．
④设h（x）=f（x）-g（x）=

2

3

x-

5

8

-

x

当x=0时满足题意，
当x≠0时，h′（x）=

2

3

-

1

2 x

，
由h'（x）=0得，x=

9

16

，
∵0＜x＜1，
∴当x=

9

16

时，函数取得极小值，
即h（

9

16

）=

2

3

×

9

16

-

5

8

-

9 16

=

3

8

-

5

8

-

3

4

=-1．
∴存在x∈D，都有|f（x）-g（x）|＜1，
∴函数f（x）和g（x）在D上为“亲密函数”；
故答案为：②④．

点评：本题是一道新定义题，要理清定义的条件和结论，将问题转化为已知的去解决，主要涉及了函数的单调性，函数的最值求法等．综合性较强难度较大．