Question

在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量

m

=(

3

，-2sinB)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

∥

n

，B为锐角．
（I）求角B的大小；
（II）设b=2，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积运算，结合二倍角、辅助角公式，可求角B的大小；
（II）利用余弦定理求得ac的值，即可求△ABC的面积．

解答：解：（I）∵

m

=(

3

，-2sinB)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

∥

n

，
∴

3

cos2B+2sinB•(2cos2

B

2

-1)=0
∴

3

cos2B+sin2B=0，
∴2sin(2B+

π

3

)=0，
∵B∈(0，

π

2

)，∴2B+

π

3

∈(

π

3

，

4π

3

)，∴2B+

π

3

=π，∴B=

π

3

；
（II）∵B=

π

3

，b=2，a+c=4，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2ac×cosB=（a+c）²-3ac
∴ac=4．
∴S△ABC=

1

2

ac×sinB=

3

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．