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    精英家教网已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：
    OM
    •
    OP
    为定值．
    （3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    ．
    （2）设M（2，y0），P（x1，y1），则
    OP
    =(x1，y1)，
    OM
    =(2，y0)    ，直线CM：y=
    y0
    4
    (x+2)，即y=
    y0
    4
    x+
    1
    2
    y0    ，代入椭圆方程x2+2y2=4，得(1+
    y
    2
    0
    8
    )x2+
    1
    2
    y
    2
    0
    x+
    1
    2
    y
    2
    0
    -4=0    ，然后利用根与系数的关系能够推导出
    OM
    •
    OP
    为定值．
    （3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP．
    MQ
    =(m-2，-y0)，
    DP
    =(-
    4
    y
    2
    0
    y
    2
    0
    +8
    ，
    8y0
    y
    2
    0
    +8
    )    ，再由
    MQ
    •
    DP
    =0得-
    4
    y
    2
    0
    y
    2
    0
    +8
    (m-2)-
    8
    y
    2
    0
    y
    2
    0
    +8
    =0    ，由此可知存在Q（0，0）满足条件．
    解答：解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；
    ∴椭圆方程为
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    （4分）
    （2）C（-2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），
    则
    OP
    =(x1，y1)，
    OM
    =(2，y0)
    直线CM：y=
    y0
    4
    (x+2)，即y=
    y0
    4
    x+
    1
    2
    y0    ，代入椭圆方程x2+2y2=4，
    得(1+
    y
    2
    0
    8
    )x2+
    1
    2
    y
    2
    0
    x+
    1
    2
    y
    2
    0
    -4=0    （6分）
    ∵x1=-
    1
    2
    4(
    y
    2
    0
    -8)
    y
    2
    0
    +8
    ，∴x1=-
    2(
    y
    2
    0
    -8)
    y
    2
    0
    +8
    ，∴y1=
    8y0
    y
    2
    0
    +8
    ，∴
    OP
    =(-
    2(
    y
    2
    0
    -8)
    y
    2
    0
    +8
    ，
    8y0
    y
    2
    0
    +8
    )    （8分）
    ∴
    OP
    •
    OM
    =-
    4(
    y
    2
    0
    -8)
    y
    2
    0
    +8
    +
    8
    y
    2
    0
    y
    2
    0
    +8
    =
    4
    y
    2
    0
    +32
    y
    2
    0
    +8
    =4    （定值）（10分）
    （3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分）
    MQ
    =(m-2，-y0)，
    DP
    =(-
    4
    y
    2
    0
    y
    2
    0
    +8
    ，
    8y0
    y
    2
    0
    +8
    )    （12分）
    则由
    MQ
    •
    DP
    =0得-
    4
    y
    2
    0
    y
    2
    0
    +8
    (m-2)-
    8
    y
    2
    0
    y
    2
    0
    +8
    =0    ，从而得m=0
    ∴存在Q（0，0）满足条件（14分）
    点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
    1
    2

    （Ⅰ）求椭圆的标准方程，
    （Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
    PF1
    •
    PA
    的取值范围
    （III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
    AH
    2    =
    MH
    •
    HN
    ，求证：直线l恒过定点．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
    （1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
    （2）求k1：k2的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率是
    		3
    2
    ，且经过点M（2，1），直线y=
    1
    2
    x+m(m＜0)    与椭圆相交于A，B两点．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）当m=-1时，求△MAB的面积；
    （3）求△MAB的内心的横坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•威海二模）已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为e=
    		6
    3
    ，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
    2
    		6
    3
    +2    ．
    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
    ND
    •
    MP
    AB
    2
    为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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