Question

已知函数y=

1

3

x3+x2+x的图象C上存在一点P（x₀，y₀）满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），恒有y₁+y₂为定值2y₀，则2y₀的值为（　　）

• A、-

  1

  3

• B、-

  2

  3

• C、-

  4

  3

• D、-2

Answer 1

分析：由题设条件知，本题中的P点是函数图象的对称中心，由此求出函数的对称中心，即可求出定值，再对比四个选项，得出正确选项

解答：解：P为定点，y₁+y₂为定值，可以得出M、N两点关于P点对称
y′=x²+2x+1
y〃=2x+2
由于三次函数的对称中心点处的二阶导数为0
∴y〃=2x+2=0
x=-1
故P点为（-1，-

1

3

）
y₁+y₂=-

1

3

×2=-

2

3

故选B

点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，正确解答本题，关键是由题意得出点P是函数图象的对称中心，以及了解当点P中曲线上时，对称中心处函数的二阶导数为0，本题知识性强，且涉及到二阶导数与图象的关系，题后应总结解题规律