Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等腰直角三角形，且AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，M是侧棱CC₁上一点，设MC=h．
（1）若BM⊥A₁C，求h的值；
（2）若直线AM与平面ABC所成的角为，求多面体ABM-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

解：（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B（2，0，0），M（0，2，h），A₁（0，0，4），C（0，2，0）（2分）
，（2分）
由BM⊥A₁C得，，即2×2-4h=0
解得h=1（2分）
（2）由题意知，平面ABC的一个法向量为，（2分）
因为直线AM与平面ABC所成的角为，所以解得h=2（2分）
三棱锥M-ABC的体积
三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积V=S_△ABC•CC₁=8（2分）
所以多面体ABM-A₁B₁C₁的体积（2分）
分析：（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出，，利用，求h的值；
（2）直线AM与平面ABC所成的角为，多面体ABM-A₁B₁C₁的体积，就是三棱柱的体积减去三棱锥M-ABC的体积，求解即可．
点评：本题考查棱柱的结构特征，组合几何体的面积、体积问题，直线与平面所成的角，考查转化思想，计算能力，是中档题．