Question

【题目】设函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；
（2）若f（1）= ，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，可k﹣1=0，即k=1，

故f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0，且a≠1）

∵f（1）＞0，∴a﹣ ＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1．

f′（x）=axlna+

∵a＞1，∴lna＞0，而ax+ ＞0，

∴f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增

原不等式化为：f（x2+2x）＞f（4﹣x），

∴x2+2x＞4﹣x，即x2+3x﹣4＞0

∴x＞1或x＜﹣4，

∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣4}

（2）解：∵f（1）= ，∴a﹣ = ，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2或a=﹣ （舍去）．

∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．

令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数

∵x≥1，∴t≥f（1）= ，

令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2　（t≥ ）

若m≥ ，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2

若m＜ ，当t= 时，h（t）min= ﹣3m=﹣2，

解得m= ＞ ，舍去

综上可知m=2

【解析】（1）根据f（x）是定义域为R的奇函数，可得k=1，从而f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0，且a≠1），利用f（1）＞0，可得a＞1，从而可证f（x）在R上单调递增，故原不等式化为x2+2x＞4﹣x，从而可求不等式的解集；（2）根据f（1）= 确定a=2的值，从而可得函数g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x ， 由（1）可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数，可得t≥f（1）= ，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥ ），分类讨论，利用最小值为﹣2，可求m的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．