设无穷数列的首项
,前
项和为
(
),且点
在直线
上(
为与
无关的正实数).
(1)求证:数列(
)为等比数列;
(2)记数列的公比为
,数列
满足
,设
,求数列
的前
项和
;
(3)若(2)中数列{Cn}的前n项和Tn当时不等式
恒成立,求实数a的取值范围。
(1)证明见解析;(2);(3)
.
解析试题分析:(1)把已知条件变形为,要化为数列项的关系,一般方法是用
代
得
,两式相减,得
,从而得前后项比
为常数,只是还要注意看看是不是有
,如有则可证得
为等比数列;(2)由
定义可知数列
是等差数列,
(
是数列
公差),从而数列
也是等差数列,其前
和易得,这说明我们在求数列和时,最好能确定这个数列是什么数列;(3)
恒成立,即
的最大值,下面我们要求
的最大值,由(2)
是关于
的二次函数,我们只要应用二次函数知识(配方法)就可求出基最大值了,但要注意
是范围是正整数.
试题解析:(1)由已知,有,
当时,
; 2分
当时,有
,
两式相减,得,即
,
综上,,故数列
是公比为
的等比数列; 4分
(2)由(1)知,,则
于是数列是公差
的等差数列,即
, 7分
则
= 10分
(3)不等式恒成立,即
恒成立,又
在
上递减,则
. 14分
16分
考点:(1)数列的前项和
与
的关系,等比数列的定义;(2)等差数列的前
项和;(3)不等式恒成立与二次函数在给定范围内的最值.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设数列{an}、{bn}、{cn}满足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2,3,…),求证:{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…).
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在公差为d的等差数列{an}中,已知
a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(1)求d,an;
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+…+|an|.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设数列{an}的各项都是正数,且对任意n∈N*,都有+…+
=
,记Sn为数列{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=3n+(-1)n-1λ·2an(λ为非零常数,n∈N*),问是否存在整数λ,使得对任意n∈N*,都有bn+1>bn.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设各项均为正数的数列的前
项和为
,满足
且
恰好是等比数列
的前三项.
(Ⅰ)求数列、
的通项公式;
(Ⅱ)记数列的前
项和为
,若对任意的
,
恒成立,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设是数列
的前
项和,对任意
都有
成立, (其中
、
、
是常数).
(1)当,
,
时,求
;
(2)当,
,
时,
①若,
,求数列
的通项公式;
②设数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“
数列”.
如果,试问:是否存在数列
为“
数列”,使得对任意
,都有
,且
.若存在,求数列
的首项
的所
有取值构成的集合;若不存在,说明理由.
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