Question

已知f（x）=

|1-x2|

，试讨论其定义域、奇偶性和单调性．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的性质分别求函数的定义域，奇偶性和单调性即可．

解答： 解：∵|1-x²|≥0，∴函数的定义域为R，
∵f（-x）=

|1-(-x)2|

=

|1-x2|

=f（x），
∴函数f（x）为偶函数，
f（x）=

|1-x2|

=

|x2-1|

，
设u=|x²-1|=

x2-1， x≥1或x≤-1 -x2+1， -1＜x＜1

，对应的图象如图：
∵y=

u

为增函数，
∴根据复合函数单调性之间的关系可得
当x≤-1或0≤x≤1上函数f（x）为减函数，即函数的递减区间为（-∞，-1]，[0，1]，
当x≥1或-1≤x≤0上函数f（x）为增函数，即函数的递增区间为[1，+∞），[-1，0]

点评：本题主要考查函数的性质，要求熟练掌握函数定义域，奇偶性和单调性的判断，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．