【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为
,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P(0,1),Q(0,2).设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆C上.
【答案】
(1)解:由题意,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切,∴b= =
.
因为离心率e= =
,所以
=
,所以a=2
.
所以椭圆C的方程为
(2)证明:由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(﹣x0,y0),则直线PM的方程为y= x+1,①
直线QN的方程为y= x+2. ②
设T(x,y),联立①②解得x0= ,y0=
.
因为 ,所以
(
)2+
(
)2=1.
整理得 =(2y﹣3)2,所以
﹣12y+8=4y2﹣12y+9,即
.
所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上
【解析】(1)利用以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切,可得b的值,利用离心率为 ,即可求得椭圆C的方程;(2)设M,N的坐标分别为(x0 , y0),(﹣x0 , y0),求出直线PM、QN的方程,求得x0 , y0的值,代入椭圆方程,整理可得结论.
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
即可以解答此题.
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【题目】某矩形花坛ABCD长AB=3m,宽AD=2m,现将此花坛在原有基础上有拓展成三角形区域,AB、AD分别延长至E、F并使E、C、F三点共线.
(1)要使三角形AEF的面积大于16平方米,则AF的长应在什么范围内?
(2)当AF的长度是多少时,三角形AEF的面积最小?并求出最小面积.
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【题目】已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn= an .
(1)求a2 , a3 , 及{an}的通项公式.
(2)求{ }的前n项和Tn , 并证明:1≤Tn<2.
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【题目】在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB边上异于AB的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图),若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )
A.2
B.1
C.
D.
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形ABCD为正方形,△ABE为等腰直角三角形,∠BAE=90°,且AD⊥AE.
(1)证明:平面AEC⊥平面BED.
(2)求直线EC与平面BED所成角的正弦值.
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【题目】已知点为圆
的圆心,
是圆上动点,点
在圆的半径
上,且有点
和
上的点
,满足
(1)当在圆上运动时,求点
的轨迹方程;
(2)若斜率为的直线
与圆
相切,与(1)中所求点
的轨迹教育不同的两点
是坐标原点,且
时,求
的取值范围.
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【题目】已知M为△ABC的中线AD的中点,过点M的直线分别交两边AB、AC于点P、Q,设 =x
,
,记y=f(x).
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)设g(x)=x3+3a2x+2a,x∈[0,1].若对任意x1∈[ ,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
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