Question

13．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两焦点，以点F₁为直角顶点作等腰直角三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\sqrt{5}-1$
• C． $\sqrt{5}+1$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 利用以点F₁为直角顶点作等腰直角三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，可得$\frac{{b}^{2}}{a}$=c，即可求出双曲线的离心率

解答 解：x=-c时，代入双曲线方程，可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$．
∵以点F₁为直角顶点作等腰直角三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=c，
∴e²-e-1=0，
∵e＞1，
∴e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故选：A．

点评 本题给出以点F₁为直角顶点作等腰直角三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，求该双曲线的离心率，着重考查了双曲线的定义与简单几何性质，属于基础题．