Question

18．已知函数f（x）满足f（x+1）=lg（2+x）-lg（-x）．
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）解不等式f（x）＜1；
（3）判断并证明f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）可令t=x+1，则x=t-1，代入可得f（t），即f（x）的解析式；再由对数的真数大于0，可得函数的定义域；
（2）运用对数的运算性质和对数函数的单调性，可得不等式，解不等式可得解集；
（3）f（x）在（-1，1）上为增函数．由单调性定义，分设值、作差、变形和定符号、下结论，注意运用对数函数的性质，即可得证．

解答 解：（1）f（x+1）=lg（2+x）-lg（-x），
可令t=x+1，则x=t-1，可得f（t）=lg（1+t）-lg（1-t），
即有f（x）=lg（1+x）-lg（1-x），
由1+x＞0且1-x＞0，解得-1＜x＜1，
则函数f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）由f（x）＜1即lg（1+x）-lg（1-x）＜1，
即为lg（1+x）＜lg10（1-x），
可得0＜1+x＜10（1-x），
解得-1＜x＜$\frac{9}{11}$，
则不等式的解集为（-1，$\frac{9}{11}$）；
（3）证明：f（x）在（-1，1）上为增函数．
理由：设-1＜m＜n＜1，则f（m）-f（n）=lg（1+m）-lg（1-m）-[lg（1+n）-lg（1-n）]
=lg$\frac{1+m}{1-m}$-lg$\frac{1+n}{1-n}$=lg$\frac{1+m}{1-m}$•$\frac{1-n}{1+n}$=lg$\frac{1+m}{1+n}$•$\frac{1-n}{1-m}$，
由于-1＜m＜n＜1，可得1-m＞1-n＞0，1+n＞1+m＞0，
可得0＜$\frac{1+m}{1+n}$＜1，0＜$\frac{1-n}{1-m}$＜1，
则0＜$\frac{1+m}{1+n}$•$\frac{1-n}{1-m}$＜1，
即有lg$\frac{1+m}{1+n}$•$\frac{1-n}{1-m}$＜0，
则f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n），
故f（x）在（-1，1）上为增函数．

点评 本题考查函数的解析式的求法，注意运用换元法，考查不等式的解法，注意运用对数函数的单调性，同时考查运用定义法证明函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．