Question

16．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点F₁，F₂，点P是两曲线的一个公共点，且PF₁⊥PF₂，e₁，e₂分别是两曲线C₁，C₂的离心率，则2e₁²+$\frac{{e}_{2}^{2}}{2}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{9}{4}$
• C． 4
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a²+m²=2c²，由此能求出2e₁²+$\frac{{e}_{2}^{2}}{2}$的最小值．

解答 解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，
令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2m，①
由椭圆定义|PF₁|+|PF₂|=2a，②
又∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，③
①²+②²，得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²，④
将④代入③，得a²+m²=2c²，
∴2e₁²+$\frac{{e}_{2}^{2}}{2}$=$\frac{5}{4}$+$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{4{m}^{2}}$≥$\frac{5}{4}+1=\frac{9}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查2e₁²+$\frac{{e}_{2}^{2}}{2}$的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．