Question

已知函数y=f（x）的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向左平移

π

2

个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=sin（

1

2

x-

π

4

）+x-

π

2

的图象．
（1）求f（x）；
（2）若f（1-a）-f（1-a²）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的图象与图象变化,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）运用函数图象的变换求解，（2）根据函数的单调性转化不等式求解．

解答： 解：（1）把函数y=sin（

1

2

x-

π

4

）+x-

π

2

的图象，沿y轴向上平移1个单位，
得到：函数数y=sin（

1

2

x-

π

4

）+x-

π

2

+1的图象，再将整个图象沿x轴向右平移

π

2

个单位，
得到函数y=sin（

1

2

（x-

π

2

）-

π

4

）+x-

π

2

+1=-cos

1

2

x-π+1，
再把得到的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

倍，
得到函数y=-cosx+2x-π+1，
所以f（x）=-cosx+2x-π+1，
（2）∵f′（x）=2+sinx＞0
∴f（x）为单调递增函数
∵f（1-a）-f（1-a²）＞0，
∴f（1-a）＞f（1-a²）
1-a＞1-a²，a＜a²，
所以a＞1或a＜0

点评：本题考查了函数的性质，图象的变换，属于中档题．