练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知△OFQ的面积为2
    		6
    ，且
    OF
    •
    FQ
    =m    ．
    （1）设
    		6
    ＜m＜4
    		6
    ，求向量
    OF
    与
    FQ
    的夹角θ    正切值的取值范围；
    （2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|
    OF
    |=c，m=(
    		6
    4
    -1)c2    ，当|
    OQ
    |    取得最小值时，求此双曲线的方程．
    （3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
    分析：（1）由
    1
    2
    •|
    OF
    |•|
    FQ
    |sin(π-θ)=2
    		6
    |
    OF
    |•|
    FQ
    |cosθ=m
    ，知tanθ=
    4
    		6
    m
    ，由此能求出向量
    OF
    与
    FQ
    的夹角θ的正切值的取值范围．
    （2）设所求的双曲线方程为
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    ，Q（x1，y1），
    FQ
    =(x1-c，y1)    ，S△OFQ=
    1
    2
    |
    OF
    |•|y1|=2
    		6
    ，y1=±
    4
    		6
    c
    ，由(x1-c)•c=(
    		6
    4
    -1)c2    ，知|
    OQ
    |=
    x
    2
    1
    +
    y
    2
    1
    =
    96
    c2
    +
    3c2
    8
    ≥
    		12
    ．由此能求出此双曲线的方程．
    （3）设A（x1，y1），B（x2，y2）l1的方程为y=
    		3
    x，l2    的方程为y=-
    		3
    x    ，有y1=
    		3
    x1    ，y2=-
    		3
    x2    ，由2|AB|=5|FF1|，知2
    		(x1-x2)2+(y1-y2)2
    =5•2c=40    ，由此能求出线段AB的中点M的轨迹方程．
    解答：解：（1）
    1
    2
    •|
    OF
    |•|
    FQ
    |sin(π-θ)=2
    		6
    |
    OF
    |•|
    FQ
    |cosθ=m

    ∴tanθ=
    4
    		6
    m
    ，
    ∴
    		6
    ＜m＜4
    		6

    ∴1＜tanθ＜4．
    ∴
    π
    4
    ＜θ＜arctan4    ．
    （2）设所求的双曲线方程为
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)，Q(x1，y1)，则
    FQ
    =(x1-c，y1)
    ∴S△OFQ=
    1
    2
    |
    OF
    |•|y1|=2
    		6
    ，
    ∴y1=±
    4
    		6
    c
    又由(x1-c)•c=(
    		6
    4
    -1)c2    ，
    ∴x1=
    		6
    4
    c    ，
    ∴|
    OQ
    |=
    x
    2
    1
    +
    y
    2
    1
    =
    96
    c2
    +
    3c2
    8
    ≥
    		12
    ．
    当且仅当c=4时，|
    OQ
    |    最小，此时Q的坐标为(
    		6
    ，
    		6
    )或(
    		6
    ，-
    		6
    )
    ∴
    6
    a2
    -
    6
    b2
    =1
    a2+b2=16
    ，
    ∴
    a2=4
    b2=12
    ，
    ∴所求方程为
    x2
    4
    -
    y2
    12
    =1    ．
    （3）设A（x1，y1），B（x2，y2）l1的方程为y=
    		3
    x，l2    的方程为y=-
    		3
    x
    则有y1=
    		3
    x1    ①y2=-
    		3
    x2    ②
    ∵2|AB|=5|FF1|
    ∴2
    		(x1-x2)2+(y1-y2)2
    =5•2c=40
    ∴
    		(x1-x2)2+(y1-y2)2
    =20    ③
    设M（x，y）由①②得y1+y2=
    		3
    (x1-x2)    y1-y2=
    		3
    (x1+x2)
    ∴2y=
    		3
    (x1-x2)，y1-y2=2
    		3
    x
    ∴x1-x2=
    2y
    		3
    ，y1-y2=2
    		3
    x
    代入③得(
    2y
    		3
    )2+(2
    		3
    x)2=400
    ∴
    y2
    300
    +
    x2
    100
    3
    =1    ．
    ∴M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆．
    点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知△OFQ的面积为2
    		6
    ，且
    OF
    •
    FQ
    =m    ．
    （1）当
    		6
    ＜m＜4
    		6
    时，求向量
    OF
    与
    FQ
    的夹角θ的取值范围；
    （2）设|
    OF
    |=c，m=(
    		6
    4
    -1)c2    ，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当|
    OQ
    |    取得最小值时，求此双曲线的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知△OFQ的面积为S，且
    OF
    •
    FQ
    =1    ．
    （Ⅰ）若
    1
    2
    ＜S＜
    		3
    2
    ，求＜
    OF
    ，
    FQ
    ＞    的范围；
    （Ⅱ）设|
    OF
    |=c(c≥2)，S=
    3
    4
    c.    若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，以c为变量，当|
    OQ
    |    取最小值时，求椭圆的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知△OFQ的面积为2
    		6
    ，且
    OF
    •
    FQ
    =m，?
    （1）设
    		6
    ＜m＜4
    		6
    ，求向量
    OF
    与
    FQ
    的夹角θ的取值范围；?
    （2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|
    OF
    |=c，m=（
    		6
    4
    -1）c2，当|
    OQ
    |取最小值时，求此双曲线的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•天津一模）已知△OFQ的面积为2
    		6
    ，且
    OF
    •
    FQ
    =m．
    （1）设4
    		2
    ＜m＜4
    		6
    ，求向量
    OF
    •
    FQ
    夹角θ的取值范围；
    （2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），若|
    OF
    |=c，m=(
    		6
    4
    -1)c2    ，当|
    OQ
    |取最小值时，求此双曲线的方程．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案