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已知函数f(x)=
2x-a2
a•2x
,x∈R,其中a≠0.
(1)证明:当a>0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
(2)设函数h(x)=f(x)-2x,若函数h(x)只有一个零点,求实数a的取值范围,并求出零点(可用a表示).
考点:利用导数求闭区间上函数的最值,根的存在性及根的个数判断
专题:计算题,证明题,导数的综合应用
分析:(1)化简函数f(x)=
2x-a2
a•2x
=
1
a
-
a
2x
,从而由复合函数的单调性证明;
(2)化简函数h(x)=f(x)-2x=
1
a
-
a
2x
-2x,从而分a<0与a>0求只有一个零点时a的取值,进而求出零点.
解答: 解:(1)证明:函数f(x)=
2x-a2
a•2x
=
1
a
-
a
2x

∵a>0,∴y=
a
2x
是R上的减函数,
∴y=-
a
2x
是R上的增函数,
∴函数f(x)=
1
a
-
a
2x
在(-∞,+∞)上为增函数;
(2)函数h(x)=f(x)-2x=
1
a
-
a
2x
-2x
当a<0时,易知函数h(x)为减函数,
且当x→+∞时,h(x)→-∞,
当x→-∞时,h(x)→+∞;
故函数h(x)只有一个零点,
1
a
-
a
2x
-2x=0解得,
x=log2
1+
1-4a3
-2a

当a>0时,
h(x)=f(x)-2x=
1
a
-
a
2x
-2x=
1
a
-(
a
2x
+2x);
a
2x
+2x≥2
a
知,
1
a
-2
a
=0,即a=
32
2
时,函数h(x)只有一个零点;
故此时x=-
1
3

故实数a的取值范围为(-∞,0)∪{
32
2
}.
点评:本题考查了导数的综合应用及复合函数的单调性的应用,同时考查了零点与方程的根的关系,属于中档题.
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若a,b,c是△ABC三个内角的对边,且asinA+bsinB=
1
2
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1+2sin(π-α)cos(-2π-α)
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5
2
π-α)
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x2
a2
+
y2
b2
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5
3
,设其左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为B1,且F2到直线B1F1的距离为
4
5
3

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(Ⅱ)过点(2,0)作直线与椭圆交于A,B两点,O是坐标原点,是否存在这样的直线,使得|
OA
+
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|=|
OA
-
OB
|?若存在,求出直线的方程,若不存在,试说明理由.

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1-x
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π
3
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a-b
2
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2
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6

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“世界睡眠日”定在每年的3月21日.为此某网站2014年3月13日到3月20日持续一周进行了睡眠时间的在线调查,共有200人参加调查,现将数据整理分组如题中表格所示,
(Ⅰ) 在答题卡给定的坐标系中画出频率分布直方图(如图1);
(Ⅱ)为了对数据进行分析,采用了计算机辅助计算.分析中一部分计算见算法流程图(如图2),求输出的S的值,并说明S的统计意义.
序号
(i)
分组睡
眠时间
组中值
(mi
频数
(人数)
频率
(fi
1[4,5)4.580.04
2[5,6)5.5520.26
3[6,7)6.5600.30
4[7,8)7.5560.28
5[8,9)8.5200.10
6[9,10]9.540.02

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