Question

直线l：y=ax+1与双曲线C：3x²-y²=1相交于A，B两点．
（1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点；
（2）是否存在这样的实数a，使A，B关于直线x-2y=0对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）联立方程ax+1=y与3x²-y²=1，消去y得：（3-a²）x²-2ax-2=0（*）
又直线与双曲线相交于A，B两点，3-a²≠0，所以a≠±，∴．
又依题OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则y₁y₂=-x₁x₂．
且y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1）=a²x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=-x₁x₂?x₁x₂（1+a²）+a（x₁+x₂）+1=0，而由方程（*）知：，代入上式得．满足条件．
（2）假设这样的点A，B存在，则l：y=ax+1斜率a=-2．又AB中点，在上，则，
又y₁+y₂=a（x₁+x₂）+2，
代入上式知这与a=-2矛盾．
故这样的实数a不存在．
分析：（1）把直线l的方程与双曲线的方程联立消去y，根据判别式大于0求得a的范围，根据OA⊥OB，推断出y₁y₂=-x₁x₂．根据韦达定理表示出x₁x₂．进而根据直线方程表示出y₁y₂，代入y₁y₂=-x₁x₂．求得a．
（2）假设这样的点A，B存在，进而可知直线l的斜率，把AB的中点代入直线y=x中求得y₁+y₂和x₁+x₂的关系，进而根据（1）中的韦达定理表示出x₁+x₂，联立方程求得a，看结果是否与a=-2矛盾即可．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与双曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力．