Question

（2012•宁德模拟）若直线kx-y-2=0与曲线

1-(y-1)2

=x-1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）

• A．(

  4

  3

  ，2]
• B．(

  4

  3

  ，4]
• C．[-2，-

  4

  3

  )∪(

  4

  3

  ，2]
• D．(

  4

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：将直线化成斜截式，可得直线经过点（0，-2），将曲线方程化简整理，得该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x=1右侧的部分．作出图形，观察直线的斜率k的变化，再结合计算即可得到实数k的取值范围．

解答：解：直线kx-y-2=0化成y=kx-2，可得它必定经过点（0，-2）
而曲线

1-(y-1)2

=x-1，可变形整理为（x-1）²+（y-1）²=1（x≥1）
∴该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x=1右侧的部分
设直线在圆下方与圆相切时的斜率为k₁，直线过点（1，0）与圆有两个交点时的斜率为k₂．
可得当直线kx-y-2=0与曲线有两个不同的交点时，斜率k满足k₁＜k≤k₂．
由点（1，1）到直线kx-y-2=0的距离d=

|k-1-2|

k2+1

=1，解得k₁=

4

3

而k₂=

-2-0

0-1

=2，由此可得

4

3

＜k≤2
故选A

点评：本题给出动直线与半圆有两个不同的交点，求直线斜率k的取值范围，着重考查了曲线与方程的化简和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．