Question

2．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为3，AB=4，D是A₁C₁的中点，则AD与面B₁DC所成角的正弦值为$\frac{12}{13}$；点E是BC中点，则过A，D，E三点的截面面积是$\frac{3}{2}\sqrt{30}$．

Answer 1

分析 以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂直为x 轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与面B₁DC所成角的正弦值和过A，D，E三点的截面面积．

解答 解：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为3，AB=4，D是A₁C₁的中点，
∴以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂直为x 轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），D（0，2，3），B₁（2$\sqrt{3}$，2，3），C（0，4，0），E（$\sqrt{3}$，3，0），
$\overrightarrow{AD}$=（0，2，3），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，-3），$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}，3，0$），
设平面B₁DC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=2\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y-3z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，3，2），
设AD与面B₁DC所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{12}{\sqrt{13}•\sqrt{13}}$=$\frac{12}{13}$．
∴AD与面B₁DC所成角的正弦值为$\frac{12}{13}$；
过D作DF∥AE，交B₁C₁于F，则梯形AEFD就是过A，D，E三点的截面，
∴AE=$\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$，DF=$\frac{1}{2}AE=\sqrt{3}$，
DF到AE的距离d=|$\overrightarrow{AD}$|•$\sqrt{1-（\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{AE}|}）^{2}}$=$\sqrt{13}$•$\sqrt{\frac{10}{13}}$=$\sqrt{10}$，
∴过A，D，E三点的截面面积是S_梯形AEFD=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}+2\sqrt{3}$）×$\sqrt{10}$=$\frac{3}{2}\sqrt{30}$．
故答案为：$\frac{12}{13}，\;\frac{3}{2}\sqrt{30}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查过三点的截面面积的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．