【题目】已知为实常数,函数.
(1)若在是减函数,求实数的取值范围;
(2)当时函数有两个不同的零点,求证:且.(注:为自然对数的底数);
(3)证明
【答案】(1)(2)见解析
【解析】分析:(1) 因,则,又在是减函数所以在时恒成立,则实数的取值范围为 ;(2)先证明下当时,,由(1)知,则在内单调递增,在内单调递减,由,得.所以,;(3)由(1)知当时, ,当时,有,即,累加可得结果.
详解:(1)因,则,又在是减函数所以在时恒成立,则实数的取值范围为
(2)因当时函数有两个不同的零点,则有,
则有.设 . .
当 时, ;当 时, ;
所以在 上是增函数,在 上是减函数. 最大值为 .
由于 ,且 ,所以 ,又,所以.
下面证明:当时, .设 ,
则 .在 上是增函数,
所以当时, .即当时,..
由得 .所以.
所以 ,即,,.
又 ,所以,.
所以 .而,则有.
由(1)知,则在内单调递增,在内单调递减,
由,得.所以, .
(3)由(1)知当时,在上是减函数,且
所以当时恒有,即
当时,有,即,
累加得:()
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【题目】据监测,在海滨某城市附近的海面有一台风. 台风中心位于城市的东偏南方向、距离城市的海面处,并以的速度向西偏北方向移动(如图示).如果台风侵袭范围为圆形区域,半径,台风移动的方向与速度不变,那么该城市受台风侵袭的时长为_____ .
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【题目】如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= .
(1)求cos∠CAD的值;
(2)若cos∠BAD=﹣ ,sin∠CBA= ,求BC的长.
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【题目】某高级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表:
高一年级 | 高二年级 | 高三年级 | |
女生 | 373 | x | y |
男生 | 377 | 370 | z |
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的概率是0.19.
(1)求的值;
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应该在高三年级抽取多少名?
(3)已知,,求高三年级中女生比男生多的概率.
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【题目】函数的一段图象过点,如图所示.
(1)求函数的表达式;
(2)将函数的图象向右平移个单位,得函数的图象,求的最大值,并求出此时自变量的集合,并写出该函数的增区间.
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【题目】从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.
(Ⅰ)设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
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【题目】下列命题中,正确的命题的序号为__________.
①已知随机变量服从二项分布,若,,则;
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变;
③设随机变量服从正态分布,若,则;
④某人在次射击中,击中目标的次数为,,则当时概率最大.
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【题目】2002年北京国际数学家大会会标,是以中国古代数学家赵爽的弦图为基础而设计的,弦图用四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图,若大、小正方形的面积分别为25和1,直角三角形中较大锐角为,则等于
A. B. C. D.
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