Question

已知直线l₁：ax-y+1=0与l₂：x+ay+1=0（a∈R），给出如下结论：
①不论a为何值时，l₁与l₂都互相垂直；
②不论a为何值时，l₁与l₂都关于直线x+y=0对称；
③当a变化时，l₁与l₂分别经过定点A（0，1）和B（-1，0）；
④当a变化时，l₁与l₂的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点）．
其中正确的结论有

①③④

．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析：①l₁与l₂垂直时，利用两直线垂直的充要条件可判断；
②在l₁上任取点（x，ax+1），关于直线x+y=0对称的点的坐标为（-ax-1，-x），代入l₂：x+ay+1=0的左边，可得不为0，故可判断；
③对于直线l₁与l₂分别令x=0，y=0，即可知直线恒过定点；
④联立方程，消去参数，由方程可确定l₁与l₂的交点轨迹．

解答：解：①a×1-1×a=0恒成立，l₁与l₂垂直恒成立，故①正确；
②在l₁上任取点（x，ax+1），关于直线x+y=0对称的点的坐标为（-ax-1，-x），
代入l₂：x+ay+1=0的左边，显然不为0，故②不正确；
③直线l₁：ax-y+1=0，当a变化时，x=0，y=1恒成立，所以l₁经过定点A（0，1）；
l₂：x+ay+1=0，当a变化时，y=0，x=-1恒成立，所以l₂经过定点B（-1，0），故③正确；
④联立直线l₁：ax-y+1=0与l₂：x+ay+1=0，消去参数a可得：x²+x+y²-y=0（x≠0，y≠0），
∴当a变化时，l₁与l₂的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点），故④正确．
故答案为：①③④

点评：本题以直线为载体，考查两直线的位置关系，考查直线的对称性，考查直线恒过定点，考查轨迹，综合性，需一一判断．