Question

设是函数的一个极值点。

（Ⅰ）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（Ⅱ）、设，。若存在使得成立，求的取值范围。

Answer 1

点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。

解：（Ⅰ）＝－[x²＋(a－2)x＋b－a ]e^3－x,

由=0，得 －[3²＋(a－2)3＋b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，

则 ＝[x²＋(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²＋(a－2)x－3－3a ]e^3－x

＝－(x－3)(x＋a+1)e^3－x.

令＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是极值点，

所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

当a<－4时，x₂>3＝x₁，则

在区间（－∞，3）上，<0， 为减函数；

在区间（3，a1）上，>0，为增函数；

在区间（a1，＋∞）上，<0，为减函数。

当a>－4时，x₂<3＝x₁，则

在区间（－∞，a1）上，<0， 为减函数；

在区间（a1，3）上，>0，为增函数；

在区间（3，＋∞）上，<0，为减函数。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－（2a＋3）e³<0，f (4)＝（2a＋13）e^－1>0，f (3)＝a＋6，

那么在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e³，a＋6].

又在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是，

由于，所以只须仅须

且a>0，解得.

故a的取值范围是。