Question

已知a,b为正数,求证:
(1)若+1>,则对于任何大于1的正数x,恒有ax+>b成立.
(2)若对于任何大于1的实数x,恒有ax+>b成立,则+1>.

Answer 1

见解析

证明：(1)∵x>1,∴ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)².
∵+1>(b>0),
∴(+1)²>b.
即ax+>b.
(2)∵ax+>b对于大于1的实数x恒成立,
即x>1时,[ax+]_min>b,
而ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)²,
当且仅当a(x-1)=,
即x=1+>1时取等号.
故[ax+]_min=(+1)².
则(+1)²>b,即+1>.