Question

17．如图，在梯形ABCD中，若E，F分别为腰AB，DC的三等分点，且|$\overrightarrow{AD}$|=2，|$\overrightarrow{BC}$|=5，求|$\overrightarrow{EF}$|．

Answer 1

分析 如图所示，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{EA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$．可得$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，再利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：如图所示，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{EA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$．
∴$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$
=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}）$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，
∴${\overrightarrow{EF}}^{2}$=$\frac{1}{9}{\overrightarrow{BC}}^{2}+$$\frac{4}{9}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AD}$+$\frac{4}{9}$${\overrightarrow{AD}}^{2}$
=$\frac{1}{9}×{5}^{2}$+$\frac{4}{9}×2×5$+$\frac{4}{9}×{2}^{2}$
=9．
∴$|\overrightarrow{EF}|$=3．

点评 本题考查了向量共线定理、向量的多边形法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．