Question

4．已知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x．
（1）若f（θ）=$\frac{3}{2}$，θ∈（-π，π）．求θ的取值集合；
（2）求f（x）的单调增区间和对称轴方程．

Answer 1

分析 利用两角差的正弦和倍角公式化简f（x）．
（1）由f（θ）=$\frac{3}{2}$，得到$sin（2θ+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，结合θ的范围求得θ的取值集合；
（2）直接由复合函数的单调性求得求f（x）的单调增区间，再由相位终边落在y轴上求得x，可得f（x）的对称轴方程．

解答 解：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x=$sin2xcos\frac{π}{6}-cos2xsin\frac{π}{6}+2co{s}^{2}x=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$+1+cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+1$=$sin（2x+\frac{π}{6}）+1$．
（1）由f（θ）=$\frac{3}{2}$，得$sin（2θ+\frac{π}{6}）+1=\frac{3}{2}$，∴$sin（2θ+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∵θ∈（-π，π），∴$-\frac{11π}{6}＜2θ+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，
则$2θ+\frac{π}{6}=-\frac{7π}{6}$或$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$，
∴$θ=-\frac{2π}{3}$或0或$\frac{π}{3}$．
∴θ的取值集合为{$-\frac{2π}{3}$，0，$\frac{π}{3}$}；
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2θ+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{3}+kπ≤θ≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$，
则f（x）的单调增区间为[$-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z；
由2x+$\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ$，得x=$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．
∴f（x）的对称轴方程为x=$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．

点评 本题考查三角函数值的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．